Was ist eine Matrix und wie sieht sie aus?

Zunächst einmal: Ganz so cool wie das Bild dieses Artikels sind Matrizen leider nicht. Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen in zwei Klammern (Eckig [] oder rund()). Eine Matrix ist also nichts anderes als ein Zahlenfeld, in dem Informationen angeordnet werden können.

Matrizen bestehen immer aus m Zeilen und n Spalten. Diese Angabe (auch Indizes genannt) wird tiefgestellt unter den Namen der Matrix angefügt. Der Name einer Matrix ist in aller Regel mit Großbuchstaben bezeichnet. Die Zahlen in einer Matrix nennt man Elemente.

A_{2,2}= \begin{pmatrix} {1} & {9} \\ {7} & {12} \end{pmatrix}
B_{2,3}= \begin{pmatrix} {1} & {9} & {5} \\ {7} & {12} & {4} \end{pmatrix}
A_{4,1}= \begin{pmatrix} {2} \\ {15} \\ {7} \\ {3}\end{pmatrix}
D_{1,4}= \begin{pmatrix} {2} & {15} & {7} & {22}\end{pmatrix}
2×2 Matrix
2×3 Matrix
4×1 Matrix

(Spaltenmatrix)

1×4 Matrix

(Zeilenmatrix)

Der Wert eines Elementes innerhalb einer Matrix lässt sich ablesen. Um ein Element zu benennen wird der „Standort“ (Zeile, Spalte) kleingestellt vor dem Namen der Matrix in Kleinbuchstaben gesetzt. Der Wert des Matrizenelementes a(1,2) hat also den Wert 9. Das Matrizenelement c(3,2) hat also den Wert 7.

Es gibt zahlreiche Namen für Matrizen mit bestimmten Formen bzw. Inhalten.

  • Eine Zeilenmatrix ist eine Matrix mit nur einer Zeile
  • Eine Spaltenmatrix ist eine Matrix mit nur einer Spalte
  • Eine Quadratische Matrix hat genauso viele Spalten wie Zeilen
  • Bei Null-Matrizen sind alle Elemente gleich 0

 

Mit Matrizen rechnen

Man verwendet Matrizen, um Informationen darzustellen und zu strukturieren. Daneben kann man mit diesen aber (natürlich) auch rechnen. Nur von der Division sind die Matrizen ausgenommen.

Matrizen addieren und subtrahieren

Matrizen können addiert werden. Dazu addiert man einfach die Zahlen, die in den beiden Matrizen an der gleichen Stelle stehen.

\begin{pmatrix} {1} & {2} \\ {3} & {4} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} {5} & {6} \\ {7} & {8} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {1+5} & {2+6} \\ {3+7} & {4+8} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {6} & {8} \\ {10} & {12} \end{pmatrix}

Das Ergebnis, also die Matrix, welche durch die Addition entstanden ist, wird Matrizensumme genannt. Die Subtraktion funktioniert nach dem selben Prinzip:

\begin{pmatrix} {5} & {6} \\ {7} & {8} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} {1} & {2} \\ {3} & {4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {5-1} & {6-2} \\ {7-3} & {8-4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {4} & {4} \\ {4} & {4} \end{pmatrix}

Es können nur Matrizen mit der gleichen Dimension (Größe) addiert bzw. subtrahiert werden.

 

Matrizen mit einem Skalar multiplizieren

Matrizen können auch mit einem Skalar multipliziert werden. Ein Skalar ist einfach nur eine reele Zahl (z.B. 1,2,3…). Die Multiplikation mit einem Skalar geht ähnlich vonstatten wie eine Addition mit einer Matrix. Hier wird einfach jedes Element mit dem Skalar multipliziert– schließlich hat ein Skalar keine Dimension.

2 \times \begin{pmatrix} {1} & {2} \\ {3} & {4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {2\times1} & {2\times2} \\ {2\times3} & {2\times4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {2} & {4} \\ {6} & {8} \end{pmatrix}

 

Matrizen mit einem Vektor multiplizieren

Ein Vektor ist letztlich auch eine Matrix, weswegen wir diese miteinander multiplizieren können (Zeile mal Spalte). Das Ergebnis wiederum ist ein Vektor.

\begin{pmatrix} {1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} {10} \\ {11} \\ {12} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {1\times 10} + &{2\times 11} + &{3\times 12} \\ {4\times 10} + &{5\times 11} + &{6\times 12} \\ {7\times 10} + &{8\times 11} + &{9\times 12} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {58} \\ {167} \\ {266} \end{pmatrix}

Matrizen und Vektoren lassen sich nur dann multiplizieren, wenn die Spaltenzahl des ersten Faktors mit der Zeilenzahl des zweiten Faktors übereinstimmt.

 

Matrizen miteinander multiplizieren

Matrizen können auch miteinander multipliziert werden. Dies ist jedoch (zugegebenermaßen) recht anfällig für Fehler. Matrizen können nur miteinander multipliziert werden, wenn die Spaltenzahl der ersten Matrix identisch mit der Zeilenanzahl der zweiten Matrix ist. Nehmen wir an, wir wollen folgende Matrizen multiplizieren:

\begin{pmatrix} {1} & {2} \\ {3} & {4} \\ {5} & {6} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} {1} &{2} &{3} &{4} \\ {5} &{6} &{7} &{8}\end{pmatrix}

Das geht, weil wir eine 3×2 und eine 2×4 Matrix vorliegen haben. Wir erinnern uns: Die Spaltenzahl der ersten Matrix muss identisch mit der Zeilenanzahl der zweiten Matrix sein. Um die Berechnung zu vereinfachen, bedienen wir uns des Falkschen Schemas. Dieses Verfahren erklärt sich durch folgende Rechnung quasi von selbst:

1 2 3 4
    5 6 7 8
1 2 1*1+2*5 1*2+2*6 1*3+2*7 1*4+2*8
3 4 3*1+4*5 3*2+3*6 3*3+4*7 3*4+4*8
5 6 5*1+6*5 5*2+6*6 5*3+6*7 5*4+6*8
Die Ergebnismatrix hat die Dimension 3×4:

 

\begin{pmatrix} {11} & {14} & {17} & {20} \\ {23} & {30} & {37} & {44} \\ {35} & {46} & {57} & {68}\end{pmatrix}

Die Matrizenmultiplikation ist zwar kein Hexenwerk, doch es schleichen sich schnell Fehler ein. Dementsprechend sorgfältig sollte man beim Multiplizieren und Addieren sein.

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